信用創造額を数学的に求める

現社とか政経では公式で覚えるんだろうけど、理系の人なら公式忘れても大丈夫。
数IIIの知識(無限等比級数)が必要です。でも知識があれば簡単です。

まず、預金準備率を x (割合)、初期資金を A0 円とする。(0<x<1)*1

銀行が資金を貸し出し、また全額預かるプロセスを☆と書くとすると、
一回の☆での新規預金額A1は、
$\normal A_1=(1-x)A_0$
で与えられる。(A0円のうち割合xの分、つまりxA0円は日本銀行に残しておかないといけない分)
これをkに拡張すると、(k+1)回目の☆での新規預金額A(k+1)は、Akを利用して次のように与えられる。
$\normal A_{k+1}=(1-x)A_k$
したがって、n回☆を経た後の預金額の総計を Sn とすると、
$S_n=\sum_{k=0}^{n}A_k=\frac{A_0\{1-(1-x)^n\}}{1-(1-x)}$
n→∞の極限において、0<(1-x)<1より、 $\small (1-x)^n$ →0。
$S_{\infty}=\frac{A_0}{x}$
これが預金総額であり、公式としてはこれが一般的であろう。
これから元本のA0を引くと、信用創造額(=新規預金額合計)が算出される。
以上！

*1:x=0,1の場合は明らかなので除く