proof

まず、「ａ，ｂ，ｃ，ｄのうちどれかは２である」…（※）ことを証明する。
２は最小の素数であり、２以外の偶数の素数は存在しない。（証明略）
ａ，ｂ，ｃ，ｄが全て２でないと仮定すると、これらは全て奇数であるから、与式において、
(左辺)＝(偶数)，(右辺)＝(奇数)
となり矛盾。よって(※)が成立。
次に与命題「ｂ＜ｄならばａ＞ｃ」を示す。
①：ａ＝２と仮定すると、
(与式)⇔２＋ｂ＝ｃｄ≧３ｄ（∵ｃ≧３）
⇔ｂ≧３ｄ−２＞ｄ（∵ｄ≧３）
より不適。∴ａ≠２。
②：ｂ＝２の時
(与式)⇔ａ＋２＝ｃｄ＞２ｃ
⇔ａ＞２ｃ−２＞ｃ（∵ｃ≧３）
より題意成立。
③：ｃ＝２の時、題意成立。
④：ｄ＝２と仮定すると、ｂ＞ｄとなり不適。∴ｄ≠２。
以上よりQED

素数2に注目した場合分けをすることでけっこー楽です。
最初に複数回試行するか、一般化する努力で前半の証明を見つけるかでカギを見つけることができます。